Ilustrações e entendimento de círculos trigonométricos

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Considerando um círculo de 1 uc de raio, este tem sua circunferência igual a 2π uc. Portanto, um setor de um grau deste círculo corresponde a:
\frac {2 \pi} {360} \mathrm {uc} = \frac {\pi} {180} \mathrm {uc}
Podemos transformar a unidade de medida uc (unidades de comprimento) em rad (radianos). Assim, podemos dizer que:
1^{\circ} = \frac {\pi} {180} \mathrm {rad}
Colocando os ângulos notáveis neste círculo obtêm-se os valores (x; y) em que x é o cosseno do ângulo e y o seno:

Observa-se em tais valores que à medida em que os ângulos avançam de quadrante os valores de seno e cosseno tem seu sinal alternado. É perfeitamente notável que tais funções seguem, então, uma periodicidade infinita, e seus valores repetiram a cada volta do círculo. Deste mesmo círculo, pode-se obter as demais funções trigonométricas, que não são mais que relações do triângulo retângulo entre a origem, a coordenada e ponto (x; 0):

Básico sobre trigonometria

Explicação básica para funções trigonométricas

Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões de dois lados de um triângulo retângulo, contendo o ângulo ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário ou, de forma ainda mais geral, como séries infinitas ou como soluções para certas equações diferenciais.
Existem seis funções trigonométricas básicas, cada uma com a sua abreviatura notacional padrão.
  • seno (\operatorname{sen}, em português; a maioria das linguagens de programação escrevem \sin\,).
  • coseno (\cos \,\!).
  • tangente (\tan \,\!).
As últimas quatro funções são definidas nos termos das primeiras duas. Por outras palavras, as quatro equações em baixo são definições e não identidades demonstradas.
  • tangente \left(\tan x= {\mathrm{sen}\, x \over \cos x}\right)
  • secante \left(\sec x = {1 \over \cos x}\right)
  • cosecante \left(\csc x= {1 \over \mathrm{sen}\, x}\right)
  • cotangente \left(\cot x = {\cos x \over \mathrm{sen}\, x}\right)
O seno, o cosseno e a tangente são as mais importantes.
As inversas destas funções são geralmente designadas de arco-função, isto é, arcsin, arccos, etc., ou adicionando o expoente -1 ao nome, como em sen-1, cos-1, etc. O resultado da função inversa é o ângulo que corresponde ao parâmetro da função. Por exemplo, arcsen(1) = 90°.

Trigonometria do triângulo retângulo

As funções trigonométricas são oriundas das razões dos lados dos triângulos. Com base no triângulo retângulo ao lado, o segmento  \overline{OB} é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°), o segmento  \overline{OA} é o cateto adjacente (ao lado) do ângulo α e  \overline{AB} é o cateto oposto ao ângulo α:
\sen \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{hipotenusa}}
\csc \alpha = \frac { \mbox{hipotenusa}} { \mbox{cateto oposto}}
\cos \alpha = \frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{hipotenusa}}
\sec \alpha = \frac { \mbox{hipotenusa}} { \mbox{cateto adjacente}}
\tan \alpha = \frac { \mbox{cateto oposto}} { \mbox{cateto adjacente}}
\cot \alpha = \frac { \mbox{cateto adjacente}} { \mbox{cateto oposto}}

Explicação para seno e cosseno

Observe a circunferência a seguir. O raio dela vale 1:







Todo ângulo medido no sentido anti-horário terá medida positiva (+) e os medidos no sentido horário serão negativos (-).



         



Seno e co-seno no círculo trigonométrico
No círculo trigonométrico, podem-se representar seno, cosseno e tangente. Para um ângulo qualquer α e como o raio do círculo é 1 (unitário), tem-se um ponto P de coordenadas (a, b) sendo a a projeção no eixo dos x e b no eixo dos y.








Formou-se um triângulo retângulo de catetos (a e b) e hipotenusa unitária (1). Logo:
o seno de a é o cateto oposto sobre a hipotenusa.


E
o co-seno de a é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.


Seno e co-seno de ângulos notáveis (0°, 30°, 45°, 60° e 90°)
Existe uma maneira simples de memorizar algumas relações trigonométricas no triângulo retângulo.
Depois, construa a seguinte tabela:
X0º30º45º60º90º
sen x     
cos x     

Na linha dos senos escreva os números de 0 a 4 e na dos co-senos de 4 a 0:
X0º30º45º60º90º
sen x01234
cos x43210

Tire a raiz quadrada de cada um:
X0º30º45º60º90º
sen x
cos x
Divida tudo por 2:
X0º30º45º60º90º
sen x
cos x
Simplificando:
X0º30º45º60º90º
sen x
cos x
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